Des simulations rapides et précises de mélanges turbulents

Les écoulements turbulents, chaotiques, forment des tourbillons interconnectés de tailles variées et sont très difficiles à simuler numériquement. Les calculs peuvent durer plusieurs jours sur des milliers d’ordinateurs en parallèle. Plusieurs chercheurs du CEA ‑ DAM ont mis en œuvre des méthodes pour réduire d’environ 25 % le temps de calcul d’un mélange turbulent, tout en conservant une précision équivalente [1]. Et pour une perte acceptable de précision, il est même possible de diviser par trois la durée de la simulation.

Dans l’atmosphère, des nuages peuvent s’étendre sur des centaines de kilomètres et interagir, en se rapprochant du sol, avec des vagues de plusieurs mètres d’envergure, ou encore des gouttelettes de quelques millimètres. Ces interactions peuvent être courtes, de l’ordre de la milliseconde, ou durer des jours entiers. Par ailleurs, d’infimes variations de l’état initial du système peuvent engendrer des différences profondes sur le développement à long terme. Ces phénomènes sont typiques de ce qu’on appelle les écoulements turbulents : des tourbillons de toutes tailles, se déployant sur des temps très brefs ou plus longs, de manière chaotique. Cette complexité et cette richesse des écoulements turbulents rendent leur modélisation passionnante !

Au CEA - DAM, nous simulons des écoulements très turbulents dans lesquels deux fluides de densité différente se mélangent. C’est typiquement ce qu’il peut se produire dans une expérience de fusion nucléaire par confinement inertiel, ou lors d’explosions. Notre capacité à prévoir correctement le mélange turbulent est fondamentale pour les applications du CEA - DAM.

Initialement, les fluides sont au repos, séparés par une interface. Contrairement à l’exemple ci-dessus de l’atmosphère au-dessus de la mer, on considère maintenant un fluide lourd au-dessus d’un fluide léger dans un champ de pesanteur. Lorsque l’interface entre eux est perturbée, les déformations s’amplifient et créent du mélange. C’est ce qu’on appelle l’instabilité de type Rayleigh-Taylor [2]. Si on attend suffisamment longtemps, ce mélange devient turbulent.

Dans le cas où les fluides en mélange ont des densités proches, la résolution numérique des équations régissant le mouvement et la composition des fluides est relativement simple. Dans le cas où les fluides sont de nature très différente (un fluide très lourd et un fluide très léger, par exemple), il est nécessaire de résoudre des équations plus complexes. C’est ce cas qui nous intéresse. L’évolution temporelle typique est illustrée sur la figure 1, pour un fluide lourd neuf fois plus dense que le fluide léger. Cette simulation contient environ deux milliards de cellules et a duré six jours en utilisant 4 096 cœurs de calcul en parallèle.

Un beau résultat, donc, mais au prix de calculs coûteux. Car notre code de calcul, baptisé Stratospec, résout numériquement les équations du mouvement et du mélange. Il lui faut donc déterminer, à chaque instant et en tout point, la pression qui correspond à la vitesse et la densité des fluides. C’est là qu’interviennent les « solveurs de Poisson », des méthodes numériques permettant justement de calculer la pression. Cependant, ces méthodes sont souvent itératives, c’est-à-dire qu’il faut les appliquer un certain nombre de fois (chaque fois est appelée une itération) pour trouver la bonne solution… et on ne sait pas à l’avance combien de fois. Cela peut donc coûter très cher en temps de calcul.

Est-il possible de réduire le temps de calcul tout en gardant une précision suffisante ? Oui, en utilisant d’autres algorithmes dans le solveur de Poisson de Stratospec. L’algorithme utilisé aujourd’hui, nommé GMRes, pour Generalized Minimal Residual, est connu dans la littérature pour sa robustesse et sa fiabilité. Toutefois, chaque itération supplémentaire prend beaucoup de temps de calcul. La méthode que nous avons optimisée est BICGS, pour Bi-Conjugate Gradients Stab, qui s’appuie sur des itérations plus rapides. Pour résumer, GMRes utilise peu d’itérations, mais chacune nécessite beaucoup de calculs, tandis que BICGS utilise plus d’itérations moins coûteuses en temps.

Ensuite, nous avons réduit le nombre d’itérations dans BICGS. Pour cela, nous avons mis en œuvre des optimisations qui, de manière automatique, évitent les itérations inutiles et permettent ainsi de se sortir d’une impasse quand la précision ne s’améliore pas. En pratique, on redémarre le processus itératif, mais pas du début : on repart de la dernière meilleure étape. On accélère ainsi d’environ 25 % les calculs, sans perdre en précision sur les quantités que l’on cherche à restituer, comme illustré sur la figure 2.

Enfin, si l’on s’intéresse seulement aux grands tourbillons (ceux qui portent l’essentiel de l’énergie), il est possible de sacrifier quelques pourcents de précision. C’est pourquoi nous avons aussi développé une méthode rapide, dans laquelle nous n’utilisons pas le solveur de Poisson à chaque itération. Nous divisons le temps de calcul par trois, ce qui est considérable.

Des adaptations dans les optimisations seront certainement à prévoir pour d’autres types d’écoulements. Néanmoins, cette étude offre des points de comparaison objectifs, une méthodologie claire et des pistes prometteuses d’amélioration de solveurs de Poisson.